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MAT6020

MAT6020 Analyse mathématique (2 crédits)

Étude des fonctions dérivables et propriétés élémentaires. Rappels sur les entiers et les nombres rationnels. Le caractère incomplet des rationnels. Notion de majorant, minorant, suprémum et infimum. Propriétés élémentaires des nombres réels. Suites convergentes et de Cauchy. Théorème de Bolzano-Weierstrass et conséquences. Ensembles ouverts, fermés, bornés et compacts dans R. Théorème des intervalles emboîtés. Théorème de recouvrement de Borel. Définition des séries infinies, étude de leur convergence grâce à divers critères : Cauchy, D'Alembert, Leibniz, comparaison. Convergence absolue et ses conséquences pour les réarrangements de séries. Étude de quelques séries remarquables : séries harmoniques, géométriques. Fonctions continues : définition et diverses caractérisations. Propriétés élémentaires des fonctions continues. Propriétés fondamentales : Atteinte du suprémum sur un ensemble compact, Théorème de la valeur intermédiaire et conséquences. Continuité uniforme. Signification géométrique de la dérivée. Extrema et points d'inflexion, convexité et concavité. Théorème de Rolle et applications. Théorème des accroissements finis. Théorème de la fonction inverse. 

MAT6030

MAT6030 Algèbre (2 crédits)

Étude approfondie des concepts fondamentaux de l'algèbre. Récurrence. Nombres entiers, division euclidienne. Théorème fondamental de l'arithmétique. Infinitude des nombres premiers. Nombres rationnels, réels, complexes: plan complexe, formule de De Moivre. Théorème fondamental de l'algèbre. Congruences, classes résiduelles; théorème chinois. Structures algébriques: monoïdes, groupes; sous-structures, isomorphismes, homomorphismes; groupes quotients et théorème d'isomorphie. Étude du groupe symétrique. Exemples: division euclidienne et numération, formule de Cardan, binôme de Newton, monoïdes d'endofonctions et automates, groupes cycliques, groupes diédraux, rotations, translations, symétries, réflexions, groupes de matrices. Anneaux, idéaux, idéaux engendrés. Anneaux de matrices. Corps de fractions d'un anneau intègre. Anneaux de polynômes et de séries formelles à une ou plusieurs indéterminées. Inversibilité sous la substitution. Anneaux factoriels. Éléments premiers, irréductibles, associés. Factorialité de tout anneau principal. Équations et variétés algébriques. Polynômes homogènes. Courbes et surfaces (théorème de Gauss).

MAT6040

MAT6040 Calcul différentiel et intégral (2 crédits)

Concept de fonction. Rappels concernant les exposants. Fonctions exponentielles, logarithmiques et puissances. Fonctions trigonométriques. Suites numériques. Limites et continuité de fonctions. Dérivée d'une fonction. Dérivées d'ordre supérieur. Calcul de dérivées : règles de calculs et utilisation d'une table de dérivation. Applications : notions de point critique, minimum et maximum. Intégrale définie et primitive d'une fonction. Séries numériques. Séries de puissances et représentation de fonctions par des séries de puissances. Calcul intégral : intégration vue comme le processus inverse de la dérivation. Intégrales des fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmiques. Primitive, règles d'intégration et utilisation d'une table d'intégration. Applications de l'intégrale. Équations différentielles ordinaires et applications. Utilisation d’un logiciel de calcul symbolique.

MAT6050

MAT6050 Calcul vectoriel (1 crédit)

Vecteurs et courbes, produit scalaire et vectoriel, coordonnées cylindriques et sphériques. Fonctions vectorielles, courbes, vitesse et longueur d'arc. Champs de vecteurs, opérateurs divergence, rotationnel et laplacien. Rappels sur les fonctions de plusieurs variables, particulièrement l'intégration. Applications : centre de masse, moment d'inertie, force gravitationnelle. Intégrales curvilignes et de surface, calcul de l'aire de surfaces. Intégrale d'un champ de vecteurs sur une face, champs solénoïdaux et conservatifs. Théorèmes de Green, Stokes et de Gauss. Applications à quelques équations de la physique mathématique. Séries de Fourier, conditions de Dirichlet, formule de Parseval, applications aux cordes vibrantes et équation de la chaleur. Intégrale de Fourier, transformées de Fourier et de Laplace, applications.

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